12 R矩阵和数组
12.1 R矩阵
矩阵用matrix函数定义，实际存储成一个向量，根据保存的行数和列数对应到矩阵的元素， 存储次序为按列存储。 定义如
## [,1] [,2]
## [1,] 11 14
## [2,] 12 15
## [3,] 13 16## [,1] [,2]
## [1,] 1 -1
## [2,] 1 1matrix()函数把矩阵元素以一个向量的形式输入，
用nrow和ncol规定行数和列数，向量元素填入矩阵的缺省次序是按列填入，
用byrow=TRUE选项可以转换成按行填入。
用nrow()和ncol()函数可以访问矩阵的行数和列数，如
## [1] 3## [1] 2矩阵有一个dim属性，内容是两个元素的向量，
两个元素分别为矩阵的行数和列数。dim属性可以用dim()函数访问。如
## $dim
## [1] 3 2## [1] 3 2函数t(A)返回A的转置。
12.2 矩阵子集
用A[1,]取出A的第一行，变成一个普通向量。
用A[,1]取出A的第一列，变成一个普通向量。
用A[c(1,3),1:2]取出指定行、列对应的子矩阵。
如
## [,1] [,2]
## [1,] 11 14
## [2,] 12 15
## [3,] 13 16## [1] 11 14## [1] 11 12 13## [,1] [,2]
## [1,] 11 14
## [2,] 13 16用colnames()函数可以给矩阵每列命名，
也可以访问矩阵列名，
用rownames()函数可以给矩阵每行命名，
也可以访问矩阵行名。如
## X Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16矩阵可以有一个dimnames属性，
此属性是两个元素的列表（列表见稍后部分的介绍），
两个元素分别为矩阵的行名字符型向量与列名字符型向量。
如果仅有其中之一，缺失的一个取为NULL。
有了列名、行名后，矩阵下标可以用字符型向量， 如
## a b c
## 14 15 16## X Y
## 12 15## a c
## 14 16注意在对矩阵取子集时，
如果取出的子集仅有一行或仅有一列，
结果就不再是矩阵而是变成了R向量，
R向量既不是行向量也不是列向量。
如果想避免这样的规则起作用，
需要在方括号下标中加选项drop=FALSE，
如
## X
## a 11
## b 12
## c 13取出了A的第一列，
作为列向量取出，
所谓列向量实际是列数等于1的矩阵。
如果用常量作为下标，
其结果维数是确定的，不会出问题；
如果用表达式作为下标，
则表达式选出零个、一个、多个下标，
结果维数会有不同，
加drop=FALSE则是安全的做法。
矩阵也可以用逻辑下标取子集，比如
## X Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16## a b c
## 14 15 16矩阵本质上是一个向量添加了dim属性，
实际保存还是保存成一个向量，
其中元素的保存次序是按列填入，
所以，
也可以向对一个向量取子集那样，
仅用一个正整数向量的矩阵取子集。如
## X Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16## [1] 11 13 15为了挑选矩阵的任意元素组成的子集而不是子矩阵， 可以用一个两列的矩阵作为下标， 矩阵的每行的两个元素分别指定一个元素的行号和列号。 如
## X Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16## [,1] [,2]
## [1,] 1 1
## [2,] 2 2
## [3,] 3 2## [1] 11 15 16用c(A)或A[]返回矩阵A的所有元素。
如果要修改矩阵A的所有元素，
可以对A[]赋值。
对矩阵A，diag(A)访问A的主对角线元素组成的向量。
另外，若x为正整数值标量，diag(x)返回x阶单位阵；
若x为长度大于1的向量，
diag(x)返回以x的元素为主对角线元素的对角矩阵。
12.3 cbind()和rbind()函数
若x是向量，cbind(x)把x变成列向量，
即列数为1的矩阵，
rbind(x)把x变成行向量。
若x1, x2, x3是等长的向量，
cbind(x1, x2, x3)把它们看成列向量并在一起组成一个矩阵。
cbind()的自变量可以同时包含向量与矩阵，向量的长度必须与矩阵行数相等。
如
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 3 5
## [2,] 2 4 6## X Y
## a 11 14 1
## b 12 15 -1
## c 13 16 10cbind()的自变量中也允许有标量，
这时此标量被重复使用。
如
## [,1] [,2]
## [1,] 1 1
## [2,] 1 -1
## [3,] 1 10rbind()用法类似，
可以等长的向量看成行向量上下摞在一起，
可以是矩阵与长度等于矩阵列数的向量上下摞在一起，
向量长度为1也可以。
12.4 矩阵运算
12.4.1 四则运算
矩阵可以与标量作四则运算，结果为每个元素进行相应运算，如
## X Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16## X Y
## a 13 16
## b 14 17
## c 15 18## X Y
## a 5.5 7.0
## b 6.0 7.5
## c 6.5 8.0当运算为矩阵乘以一个标量时， 就是线性代数中的矩阵的数乘运算。
两个同形状的矩阵进行加、减运算，
即对应元素相加、相减，
用A + B，A - B表示，如
## X Y
## a 18.5 23.0
## b 20.0 24.5
## c 21.5 26.0## X Y
## a 7.5 9.0
## b 8.0 9.5
## c 8.5 10.0这就是线性代数中矩阵的加、减运算。
对两个同形状的矩阵，
用*表示两个矩阵对应元素相乘(注意这不是线性代数中的矩阵乘法)，
用/表示两个矩阵对应元素相除。
如
## X Y
## a 71.5 112.0
## b 84.0 127.5
## c 97.5 144.0## X Y
## a 2.363636 2.285714
## b 2.333333 2.266667
## c 2.307692 2.25000012.4.2 矩阵乘法
用%*%表示矩阵乘法而不是用*表示，
注意矩阵乘法要求左边的矩阵的列数等于右边的矩阵的行数。
如
## X Y
## a 11 14
## b 12 15
## c 13 16## [,1] [,2]
## [1,] 1 -1
## [2,] 1 1## [,1] [,2]
## a 25 3
## b 27 3
## c 29 312.4.3 向量与矩阵相乘
矩阵与向量进行乘法运算时， 向量按需要解释成列向量或行向量。 当向量左乘矩阵时，看成行向量； 当向量右乘矩阵时，看成列向量。 如
## [,1] [,2]
## [1,] 1 -1
## [2,] 1 1## [,1] [,2]
## [1,] 2 0## [,1]
## [1,] 0
## [2,] 2## [,1]
## [1,] 2注意矩阵乘法总是给出矩阵结果，
即使此矩阵已经退化为行向量、列向量甚至于退化为标量也是一样。
如果需要，可以用c()函数把一个矩阵转换成按列拉直的向量。
12.4.4 内积
设x, y是两个向量，
计算向量内积，
可以用sum(x*y)表示。
设\(A\), \(B\)是两个矩阵，
\(A^T B\)是广义的内积，
也称为叉积(crossprod)，
结果是一个矩阵，
元素为\(A\)的每列与\(B\)的每列计算内积的结果。
\(A^T B\)在R中可以表示为crossprod(A, B),
\(A^T A\)可以表示为crossprod(A)。
要注意的是，crossprod()的结果总是矩阵，
所以计算两个向量的内积用sum(x,y)而不用crossprod(x,y)。
12.5 逆矩阵与线性方程组求解
用solve(A)求A的逆矩阵，如
## [,1] [,2]
## [1,] 0.5 0.5
## [2,] -0.5 0.5用solve(A,b)求解线性方程组\(A x = b\)中的\(x\),
如
## [1] 1.5 0.5求解了线性方程组 \[ \left(\begin{array}{rr} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{array} \right) x = \left(\begin{array}{r} 1 \\ 2 \end{array} \right) \]
12.6 apply()函数
apply(A, 2, FUN)把矩阵A的每一列分别输入到函数FUN中，
得到对应于每一列的结果，如
## [,1] [,2]
## [1,] 6 5
## [2,] 2 4
## [3,] 3 1## [1] 11 10apply(A, 1, FUN)把矩阵A的每一行分别输入到函数FUN中，
得到与每一行对应的结果，如
## [1] 5.5 3.0 2.0如果函数FUN返回多个结果，
则apply(A, 2, FUN)结果为矩阵，
矩阵的每一列是输入矩阵相应列输入到FUN的结果，
结果列数等于A的列数。如
## [,1] [,2]
## [1,] 2 1
## [2,] 6 5如果函数FUN返回多个结果，
为了对每行计算FUN的结果，
结果存入一个与输入的矩阵行数相同的矩阵，
应该用t(apply(A, 1, FUN))的形式，
如
## [,1] [,2]
## [1,] 5 6
## [2,] 2 4
## [3,] 1 312.7 多维数组
矩阵是多维数组(array)的特例。
矩阵是\(x_{ij}, i=1,2,\dots,n,\; j=1,2,\dots,m\)这样的两下标数据的存贮格式，
三维数组是\(x_{ijk}, i=1,2,\dots,n,\; j=1,2,\dots,m,\; k=1,2,\dots,p\)这样的三下标数据的存贮格式，
\(s\)维数组则是有\(s\)个下标的数据的存贮格式。
实际上，
给一个向量添加一个dim属性就可以把它变成多维数组。
多维数组的一般定义语法为
数组名 <- array(数组元素,
dim=c(第一下标个数, 第二下标个数, ..., 第s下标个数))其中数组元素的填入次序是第一下标变化最快， 第二下标次之， 最后一个下标是变化最慢的。 这种次序称为FORTRAN次序。
下面是一个三维数组定义例子。
## , , 1
##
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 1 3 5
## [2,] 2 4 6
##
## , , 2
##
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 7 9 11
## [2,] 8 10 12
##
## , , 3
##
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 13 15 17
## [2,] 14 16 18
##
## , , 4
##
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 19 21 23
## [2,] 20 22 24这样的数组保存了\(x_{ijk}, i=1,2,\; j=1,2,3,\; k=1,2,3,4\)。
三维数组ara可以看成是4个\(2 \times 3\)矩阵。
取出其中一个如ara[,,2](取出第二个矩阵)
## [,1] [,2] [,3]
## [1,] 7 9 11
## [2,] 8 10 12多维数组可以利用下标进行一般的子集操作，
比如ara[,2, 2:3]
是\(x_{ijk}, i=1,2,\; j=2,\; k=2,3\)的值，
结果是一个\(2 \times 2\)矩阵:
## [,1] [,2]
## [1,] 9 15
## [2,] 10 16多维数组在取子集时如果某一维下标是标量，
则结果维数会减少，
可以在方括号内用drop=FALSE选项避免这样的规则发生作用。
类似于矩阵， 多维数组可以用一个矩阵作为下标， 如果是三维数组，矩阵就需要有3列， 四维数组需要用4列矩阵。 下标矩阵的每行对应于一个数组元素。